| 【中文题名】 | 黎曼流形上的曲线收缩流 |
| 【英文题名】 | Curve Shortening Flow in Riemannian Manifolds |
| 【学科专业】 | 数学 |
| 【论文级别】 | 硕士论文 |
| 【投稿时间】 | 2006-6-29 |
| 【中关键词】 | 黎曼流形,曲线收缩流,测地线,斜坡曲线,Lyusternik-Fet定理, |
| 【英关键词】 | Riemannian manifold,curve shortening flow,geodesic,ramp curve,Lyusternik-Fet theorem, |
| 【分类导航】 | 数理科学和化学>数学>几何、拓扑>微分几何、积分几何>微分几何>黎曼几何 |
| 【论文摘要】 | “几何流”是运用分析方法研究几何对象如何按照一定方式形变的数学分支。从上个世纪八十年代起,她一直都是几何分析领域的研究热点之一。近些年来,这一分支不断有重大成果出现。其中最为轰动一时的是,2003年,俄罗斯青年数学家Perelman在网上公布了三篇相关论文;专家们认为他很可能在这一系列文章中成功地利用Ricci-Hamilton流解决了Poincare′猜想。这无疑是本世纪迄今为止最振奋人心的消息之一!它极大地激发了人们研究几何流的热情。我们的工作正是在这样一个时代背景下完成的。
本文讨论的是另外一个重要的几何流――平均曲率流,即子流形上各点的瞬时速度为该点处的平均曲率向量场。囿于问题的难度和作者目前的水平,我们只研究了一般黎曼流形上的曲线按平均曲率流方式的运动。对于这样一种特殊的平均曲率流,我们习惯上称之为“曲线收缩流”,简称曲线流。曲线流有着非常广泛的应用。它不仅出现在经典微分几何中,――例如寻找曲面上的闭测地线以及与此相关的极小曲面问题,而且出现在很多物理模型中,――例如冰块消融、晶体生长。近些年来,曲线流还被应用于一个新兴领域――图象处理;它提供了一种非常有效的方法来还原物体的轮廓。
曲线流的... |
| 【论文题纲】 |
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第1章 引言 |
7-17 |
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1.1 选题背景及意义 |
7 |
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1.2 国内外研究动向 |
7-14 |
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1.2.1 嵌入曲线流 |
8-11 |
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1.2.2 奇异性分析 |
11-12 |
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1.2.3 自相似解 |
12-14 |
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1.3 本文的主要工作 |
14-15 |
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1.4 本文的结构安排 |
15-17 |
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第2章 曲线流的定义及基本性质 |
17-22 |
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2.1 曲线流的定义 |
17-19 |
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2.2 一些基本性质 |
19-22 |
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第3章 Bernstein型估计 |
22-28 |
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3.1 Bernstein型估计 |
22 |
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3.2 定理3.1之证明 |
22-28 |
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3.2.1 基本计算 |
23-24 |
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3.2.2 情形l = 1 |
24-25 |
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3.2.3 情形l = 2 |
25-26 |
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3.2.4 一般情形 |
26-28 |
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第4章 整体流的收敛性 |
28-33 |
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4.1 收敛性定理 |
28-29 |
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4.2 几个引理 |
29-31 |
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4.3 定理4.1之证明 |
31-33 |
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第5章 斜坡曲线流 |
33-36 |
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5.1 斜坡曲线的定义 |
33 |
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5.2 斜坡曲线流的性质 |
33-36 |
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第6章 Lyusternik-Fet定理 |
36-39 |
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6.1 几个预备引理 |
36-37 |
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6.2 定理6.1之证明 |
37-39 |
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第7章 S~3(1)上的曲线流 |
39-47 |
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7.1 一些基本方程 |
39-43 |
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7.2 一个初值问题 |
43-47 |
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第8章 结论 |
47-48 |
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参考文献 |
48-51 |
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致谢与声明 |
51-52 |
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个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
52 |
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| 【DOI】 | LunWen.ID:2.2008.14003 |
